Argument de Frattini

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on appelle argument de Frattini le théorème suivant : si G est un groupe, H un sous-groupe normal fini de G et P un sous-groupe de Sylow de H, alors G = H N_G(P) (où N_G(P) désigne le normalisateur de P dans G).

Démonstration

Dans les hypothèses ci-dessus (G est un groupe, H un sous-groupe normal fini de G et P un sous-groupe de Sylow de H), prouvons que G = H N_G(P). Soit g un élément de G. Il s'agit de prouver que g appartient à H N_G(P). Puisque H est supposé normal dans G, l'automorphisme intérieur x ↦ gxg⁻¹ de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) de H. L'image gPg⁻¹ de P par cet automorphisme de H est un sous-groupe de Sylow de H du même ordre que P, donc gPg⁻¹ est conjugué de P dans H. Ceci signifie qu'il existe un élément h de H tel que gPg⁻¹ = hPh⁻¹. Alors h⁻¹gPg⁻¹h = P, autrement dit h⁻¹g ∈ N_G(P), d'où g ∈ H N_G(P), ce qui, comme nous l'avons vu, démontre le théorème.

Exemple d'utilisation

L'argument de Frattini permet par exemple de démontrer que si G est un groupe fini, P un sous-groupe de Sylow de G et M un sous-groupe de G contenant N_G(P) (normalisateur de P dans G), alors M est son propre normalisateur dans G. (Appliquer l'argument de Frattini au groupe N_G(M), à son sous-groupe normal M et au sous-groupe de Sylow P de M. On trouve

${\displaystyle (1)\qquad N_{G}(M)=MN_{N_{G}(M)}(P)}$.

Il est clair que ${\displaystyle N_{N_{G}(M)}(P)\subseteq N_{G}(P)\subseteq M}$, donc le second membre de (1) est égal à M, d'où ${\displaystyle N_{G}(M)=M}$.)

Généralisation

L'argument de Frattini admet la généralisation suivante, que certains auteurs appellent elle aussi argument de Frattini :

Histoire

L'argument de Frattini (sous sa forme particulière) fut énoncé et démontré par Giovanni Frattini en 1885, dans un article où il introduisait la notion de sous-groupe de Frattini.

Notes et références

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